作為一門古老的學科，數(shù)學的內(nèi)容包括發(fā)現(xiàn)某種模式，并使用這些模式來表述和證明猜想，從而產(chǎn)生定理。

　　自20世 紀60年代以來，數(shù)學家們一直使用計算機來幫助發(fā)現(xiàn)猜想的模式和公式，最著名的案例是Birch and Swinnerton-Dyer conjecture（貝赫和斯維訥通-戴爾猜想），這個猜想是千禧年數(shù)學大獎的七個問題之一，是數(shù)論領域的著名問題。

　　但是，時至今日，計算機證明基礎數(shù)學重要定理的例子也并不多見。

　　現(xiàn)在，DeepMind的一項成果展示了更多的可能性：計算機科學家和數(shù)學家們首次使用AI來幫助證明或提出新的數(shù)學定理，包括復雜理論中的紐結(jié)理論（knot theory）和表象理論（representation theory）。

　　這些讓人驚喜的結(jié)果，今天發(fā)表在著名的科學雜志Nature上，其論文標題為“Advancing mathematics by guiding human intuition with AI”（人類直覺與AI推動數(shù)學的前進）。

　　在該論文中，作者團隊提出采用一種機器學習模型，來發(fā)現(xiàn)數(shù)學對象之間的潛在模式和關聯(lián)，用歸因技術加以輔助理解，并利用這些觀察進一步指導直覺思維和提出猜想的過程。

　　喬迪·威廉姆森教授（Geordie Williamson）是悉尼大學數(shù)學研究所所長，也是世界上最重要的數(shù)學家之一，他在純數(shù)學領域有著非凡的成績。作為該論文的合著者，他成功發(fā)揮Deep Mind的AI力量，在其的專業(yè)領域——表象理論中展開了大膽的探索猜想。

　　圖丨Geordie Williamso

　　而熟悉人工智能的讀者對DeepMind并不陌生。這個AlphaGo背后的計算機科學家團隊，曾在2016年圍棋比賽中，讓AI成功擊敗世界冠軍。在那之后，DeepMind一直秉承的理念是，要用AI助力解決重大科學問題。

　　基礎數(shù)學無疑屬于重大科學問題的范疇（甚至可以說是地基）。正如Geordie Williamson教授所說：“數(shù)學問題一度被認為是最具智力挑戰(zhàn)性的問題……雖然數(shù)學家們已經(jīng)使用ML來幫助分析復雜的數(shù)據(jù)集，但這是我們第一次使用計算機來輔助形成猜想，或為數(shù)學中未經(jīng)證實的想法提出可能的突破路線?！?/p>

　　助力頂尖數(shù)學家證明數(shù)學猜想

　　這次研究中，AI幫助探索的數(shù)學方向是表象理論。表象理論屬于線性對稱理論，是利用線性代數(shù)探索高維空間的數(shù)學分支，而Williamson教授是全球公認的表象理論的領導者。在2018年，他成為倫敦皇家學會（Royal Society）最年輕的在世會員，該學會則是世界上最古老、可以說是最負盛名的科學協(xié)會。

　　Williamson教授說：“在我所研究的領域中，為了證明或反駁長期存在的猜想，有時需要考慮跨越多維度的無限空間和極其復雜的方程組”。雖然計算機長期以來一直被用來為實驗數(shù)學生成數(shù)據(jù)，但識別有趣模式的任務主要依賴于數(shù)學家自己的直覺。

　　眾所周知，數(shù)學家的直覺在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中起著極其重要的作用——“只有結(jié)合嚴格的形式主義和良好的直覺思維，才能解決復雜的數(shù)學問題”。

　　然而，現(xiàn)在的情況有所改變。

　　如上圖所示，論文中描述了一種通用的框架方法，在這個框架方法之下，數(shù)學家可以使用ML工具來指導他們對復雜數(shù)學對象的直覺，驗證關系存在的假設，并理解這些關系。

　　Williamson教授就利用DeepMind的AI，在證明關于Kazhdan-Lusztig多項式的古老猜想的道路上離目標越來越近，當然，這些猜想涉及高維代數(shù)中的深度對稱性?？梢哉f，Kazhdan-Lusztig（KL）是代數(shù)群表示論近40年來最重要的發(fā)展之一。

　　而來自牛津大學（University of Oxford）的Marc Lackeby教授和András Juhász教授，則進一步研究了這一過程。

　　他們發(fā)現(xiàn)了紐結(jié)的代數(shù)和幾何不變量之間驚人的關聯(lián)，建立了數(shù)學中一個全新的定理。這些不變量有許多不同的推導方式，研究團隊將目標主要聚焦在兩大類：雙曲不變量和代數(shù)不變量。兩者來自完全不同的學科，增加了研究的挑戰(zhàn)性和趣味性。圖2給出了不變量的一些示例。

　　研究團隊假設，在一個紐結(jié)的雙曲不變量和代數(shù)不變量之間存在著一種未被發(fā)現(xiàn)的關系。監(jiān)督學習模型能夠檢測到大量幾何不變量和簽名之間存在的模式。如下圖所示，由歸因技術確定最相關的特征。

　　通過計算歸因技術確定的最相關的顯著子圖，分析這些圖與原始圖相比的邊緣分布，有助于進一步探索結(jié)構證據(jù)。

　　在紐結(jié)理論中，不變量不僅用于解決紐結(jié)之間的區(qū)別問題，還可以幫助數(shù)學家理解紐結(jié)的性質(zhì)，以及它是如何與數(shù)學的其他分支相聯(lián)系的。

　　紐結(jié)理論本身就散發(fā)著無窮的魅力，毫無疑問，物理科學領域也深深地被其吸引著，紐結(jié)理論得到了廣泛的應用，從理解DNA鏈、流體動力學，一直到太陽日冕（the Sun’s corona）中的力的相互作用等。

　　Juhász教授說：“純數(shù)學家的工作方式是制定猜想并證明這些猜想，從而得出定理。但是，這些猜想從何而來呢？”

　　文章已經(jīng)證明，在數(shù)學直覺思維的指導下，ML提供了一個強大的框架，可以在有大量數(shù)據(jù)可用的領域，或者對象太大而無法應用經(jīng)典方法研究的領域，發(fā)現(xiàn)有趣且可證明的猜想。

　　Lackeby教授也表示：“使用ML來發(fā)現(xiàn)數(shù)學不同領域之間新穎和意想不到的聯(lián)系，一直是一件很有趣的事情。我相信，我們在牛津大學和悉尼大學與DeepMind聯(lián)合完成的工作中足以證明，ML可以成為數(shù)學研究中真正有用的工具?！?/p>

　　AI勇闖數(shù)學王國

　　論文的一作是來自DeepMind的Alex Davies博士。他認為，AI技術已經(jīng)足夠先進，足以有力地推動許多不同學科的科學進步。其中，純數(shù)學就是一個典例?！拔覀兿Ｍ@篇Nature雜志論文能給其他研究者帶來靈感和啟發(fā)，充分意識到AI在其研究領域中所擔任有用工具的潛力。”

　　Williamson教授說：“AI堪稱為一款非凡的工具。這項工作第一次證明了，它對像我這樣的純數(shù)學家的有用性。經(jīng)驗直覺可以帶我們走很長一段路，但AI可以幫助我們找到人類思維可能并不總是容易發(fā)現(xiàn)的關聯(lián)?！?/p>

　　如其所言，直覺在許多人類追求的超常表現(xiàn)中扮演著重要的角色。

　　例如，它對頂級圍棋選手至關重要，AlphaGo之所以成功，部分源自于它能夠使用ML來學習人類直觀表現(xiàn)的游戲元素。同樣地，它也被認為是頂尖數(shù)學家的關鍵——拉馬努揚被譽為“直覺王子”，激發(fā)了著名數(shù)學家思考直覺在其研究領域地位的好奇心。

　　但與圍棋相比，數(shù)學又是一種與眾不同的、更具合作性的工作，因此AI在協(xié)助數(shù)學家完成相關方面的工作，的確具備卓有成效的空間和潛力。

　　對于AI和數(shù)學之間的關系能否融通共進的討論，在CCAI2019學術會議上，徐宗本院士也曾慷慨激昂地帶來主題為《AI與數(shù)學：融通共進》的報告，他提出，AI與數(shù)學在方法論上具有驚人的一致性。AI的基礎是數(shù)學，要想行穩(wěn)致遠，首要考慮的是解決好數(shù)學問題；而AI的發(fā)展必然也會助力數(shù)學領域的研究。

　　論文中團隊也有著類似的希冀，他們表示，希望這項工作可以作為深化數(shù)學和AI領域之間合作的一個模型，充分發(fā)揮數(shù)學和ML各自的優(yōu)勢，以達到讓人驚嘆的效果。

　　Williamson教授說，“對我來說，這些發(fā)現(xiàn)給出了足夠的提醒，智力并非是單一的變量，就像一個智商數(shù)字。顯然，智力的最佳定義，應該是將其視為一種多軸的多維空間：學術智力（academic intelligence）、情感智力（emotional intelligence）、社會智力（social intelligence）。我希望AI能為我們提供另一個可以合作的智能軸，這個新的軸將有力地加深我們對數(shù)學世界的理解?！?/span>