作為一門(mén)古老的學(xué)科，數(shù)學(xué)的內(nèi)容包括發(fā)現(xiàn)某種模式，并使用這些模式來(lái)表述和證明猜想，從而產(chǎn)生定理。

　　自20世 紀(jì)60年代以來(lái)，數(shù)學(xué)家們一直使用計(jì)算機(jī)來(lái)幫助發(fā)現(xiàn)猜想的模式和公式，最著名的案例是Birch and Swinnerton-Dyer conjecture（貝赫和斯維訥通-戴爾猜想），這個(gè)猜想是千禧年數(shù)學(xué)大獎(jiǎng)的七個(gè)問(wèn)題之一，是數(shù)論領(lǐng)域的著名問(wèn)題。

　　但是，時(shí)至今日，計(jì)算機(jī)證明基礎(chǔ)數(shù)學(xué)重要定理的例子也并不多見(jiàn)。

　　現(xiàn)在，DeepMind的一項(xiàng)成果展示了更多的可能性：計(jì)算機(jī)科學(xué)家和數(shù)學(xué)家們首次使用AI來(lái)幫助證明或提出新的數(shù)學(xué)定理，包括復(fù)雜理論中的紐結(jié)理論（knot theory）和表象理論（representation theory）。

　　這些讓人驚喜的結(jié)果，今天發(fā)表在著名的科學(xué)雜志Nature上，其論文標(biāo)題為“Advancing mathematics by guiding human intuition with AI”（人類(lèi)直覺(jué)與AI推動(dòng)數(shù)學(xué)的前進(jìn)）。

　　在該論文中，作者團(tuán)隊(duì)提出采用一種機(jī)器學(xué)習(xí)模型，來(lái)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象之間的潛在模式和關(guān)聯(lián)，用歸因技術(shù)加以輔助理解，并利用這些觀察進(jìn)一步指導(dǎo)直覺(jué)思維和提出猜想的過(guò)程。

　　喬迪·威廉姆森教授（Geordie Williamson）是悉尼大學(xué)數(shù)學(xué)研究所所長(zhǎng)，也是世界上最重要的數(shù)學(xué)家之一，他在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著非凡的成績(jī)。作為該論文的合著者，他成功發(fā)揮Deep Mind的AI力量，在其的專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域——表象理論中展開(kāi)了大膽的探索猜想。

　　圖丨Geordie Williamso

　　而熟悉人工智能的讀者對(duì)DeepMind并不陌生。這個(gè)AlphaGo背后的計(jì)算機(jī)科學(xué)家團(tuán)隊(duì)，曾在2016年圍棋比賽中，讓AI成功擊敗世界冠軍。在那之后，DeepMind一直秉承的理念是，要用AI助力解決重大科學(xué)問(wèn)題。

　　基礎(chǔ)數(shù)學(xué)無(wú)疑屬于重大科學(xué)問(wèn)題的范疇（甚至可以說(shuō)是地基）。正如Geordie Williamson教授所說(shuō)：“數(shù)學(xué)問(wèn)題一度被認(rèn)為是最具智力挑戰(zhàn)性的問(wèn)題……雖然數(shù)學(xué)家們已經(jīng)使用ML來(lái)幫助分析復(fù)雜的數(shù)據(jù)集，但這是我們第一次使用計(jì)算機(jī)來(lái)輔助形成猜想，或?yàn)閿?shù)學(xué)中未經(jīng)證實(shí)的想法提出可能的突破路線。”

　　助力頂尖數(shù)學(xué)家證明數(shù)學(xué)猜想

　　這次研究中，AI幫助探索的數(shù)學(xué)方向是表象理論。表象理論屬于線性對(duì)稱(chēng)理論，是利用線性代數(shù)探索高維空間的數(shù)學(xué)分支，而Williamson教授是全球公認(rèn)的表象理論的領(lǐng)導(dǎo)者。在2018年，他成為倫敦皇家學(xué)會(huì)（Royal Society）最年輕的在世會(huì)員，該學(xué)會(huì)則是世界上最古老、可以說(shuō)是最負(fù)盛名的科學(xué)協(xié)會(huì)。

　　Williamson教授說(shuō)：“在我所研究的領(lǐng)域中，為了證明或反駁長(zhǎng)期存在的猜想，有時(shí)需要考慮跨越多維度的無(wú)限空間和極其復(fù)雜的方程組”。雖然計(jì)算機(jī)長(zhǎng)期以來(lái)一直被用來(lái)為實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)生成數(shù)據(jù)，但識(shí)別有趣模式的任務(wù)主要依賴(lài)于數(shù)學(xué)家自己的直覺(jué)。

　　眾所周知，數(shù)學(xué)家的直覺(jué)在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中起著極其重要的作用——“只有結(jié)合嚴(yán)格的形式主義和良好的直覺(jué)思維，才能解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題”。

　　然而，現(xiàn)在的情況有所改變。

　　如上圖所示，論文中描述了一種通用的框架方法，在這個(gè)框架方法之下，數(shù)學(xué)家可以使用ML工具來(lái)指導(dǎo)他們對(duì)復(fù)雜數(shù)學(xué)對(duì)象的直覺(jué)，驗(yàn)證關(guān)系存在的假設(shè)，并理解這些關(guān)系。

　　Williamson教授就利用DeepMind的AI，在證明關(guān)于Kazhdan-Lusztig多項(xiàng)式的古老猜想的道路上離目標(biāo)越來(lái)越近，當(dāng)然，這些猜想涉及高維代數(shù)中的深度對(duì)稱(chēng)性?？梢哉f(shuō)，Kazhdan-Lusztig（KL）是代數(shù)群表示論近40年來(lái)最重要的發(fā)展之一。

　　而來(lái)自牛津大學(xué)（University of Oxford）的Marc Lackeby教授和András Juhász教授，則進(jìn)一步研究了這一過(guò)程。

　　他們發(fā)現(xiàn)了紐結(jié)的代數(shù)和幾何不變量之間驚人的關(guān)聯(lián)，建立了數(shù)學(xué)中一個(gè)全新的定理。這些不變量有許多不同的推導(dǎo)方式，研究團(tuán)隊(duì)將目標(biāo)主要聚焦在兩大類(lèi)：雙曲不變量和代數(shù)不變量。兩者來(lái)自完全不同的學(xué)科，增加了研究的挑戰(zhàn)性和趣味性。圖2給出了不變量的一些示例。

　　研究團(tuán)隊(duì)假設(shè)，在一個(gè)紐結(jié)的雙曲不變量和代數(shù)不變量之間存在著一種未被發(fā)現(xiàn)的關(guān)系。監(jiān)督學(xué)習(xí)模型能夠檢測(cè)到大量幾何不變量和簽名之間存在的模式。如下圖所示，由歸因技術(shù)確定最相關(guān)的特征。

　　通過(guò)計(jì)算歸因技術(shù)確定的最相關(guān)的顯著子圖，分析這些圖與原始圖相比的邊緣分布，有助于進(jìn)一步探索結(jié)構(gòu)證據(jù)。

　　在紐結(jié)理論中，不變量不僅用于解決紐結(jié)之間的區(qū)別問(wèn)題，還可以幫助數(shù)學(xué)家理解紐結(jié)的性質(zhì)，以及它是如何與數(shù)學(xué)的其他分支相聯(lián)系的。

　　紐結(jié)理論本身就散發(fā)著無(wú)窮的魅力，毫無(wú)疑問(wèn)，物理科學(xué)領(lǐng)域也深深地被其吸引著，紐結(jié)理論得到了廣泛的應(yīng)用，從理解DNA鏈、流體動(dòng)力學(xué)，一直到太陽(yáng)日冕（the Sun’s corona）中的力的相互作用等。

　　Juhász教授說(shuō)：“純數(shù)學(xué)家的工作方式是制定猜想并證明這些猜想，從而得出定理。但是，這些猜想從何而來(lái)呢？”

　　文章已經(jīng)證明，在數(shù)學(xué)直覺(jué)思維的指導(dǎo)下，ML提供了一個(gè)強(qiáng)大的框架，可以在有大量數(shù)據(jù)可用的領(lǐng)域，或者對(duì)象太大而無(wú)法應(yīng)用經(jīng)典方法研究的領(lǐng)域，發(fā)現(xiàn)有趣且可證明的猜想。

　　Lackeby教授也表示：“使用ML來(lái)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)不同領(lǐng)域之間新穎和意想不到的聯(lián)系，一直是一件很有趣的事情。我相信，我們?cè)谂＝虼髮W(xué)和悉尼大學(xué)與DeepMind聯(lián)合完成的工作中足以證明，ML可以成為數(shù)學(xué)研究中真正有用的工具。”

　　AI勇闖數(shù)學(xué)王國(guó)

　　論文的一作是來(lái)自DeepMind的Alex Davies博士。他認(rèn)為，AI技術(shù)已經(jīng)足夠先進(jìn)，足以有力地推動(dòng)許多不同學(xué)科的科學(xué)進(jìn)步。其中，純數(shù)學(xué)就是一個(gè)典例?！拔覀兿Ｍ@篇Nature雜志論文能給其他研究者帶來(lái)靈感和啟發(fā)，充分意識(shí)到AI在其研究領(lǐng)域中所擔(dān)任有用工具的潛力?！?/p>

　　Williamson教授說(shuō)：“AI堪稱(chēng)為一款非凡的工具。這項(xiàng)工作第一次證明了，它對(duì)像我這樣的純數(shù)學(xué)家的有用性。經(jīng)驗(yàn)直覺(jué)可以帶我們走很長(zhǎng)一段路，但AI可以幫助我們找到人類(lèi)思維可能并不總是容易發(fā)現(xiàn)的關(guān)聯(lián)?！?/p>

　　如其所言，直覺(jué)在許多人類(lèi)追求的超常表現(xiàn)中扮演著重要的角色。

　　例如，它對(duì)頂級(jí)圍棋選手至關(guān)重要，AlphaGo之所以成功，部分源自于它能夠使用ML來(lái)學(xué)習(xí)人類(lèi)直觀表現(xiàn)的游戲元素。同樣地，它也被認(rèn)為是頂尖數(shù)學(xué)家的關(guān)鍵——拉馬努揚(yáng)被譽(yù)為“直覺(jué)王子”，激發(fā)了著名數(shù)學(xué)家思考直覺(jué)在其研究領(lǐng)域地位的好奇心。

　　但與圍棋相比，數(shù)學(xué)又是一種與眾不同的、更具合作性的工作，因此AI在協(xié)助數(shù)學(xué)家完成相關(guān)方面的工作，的確具備卓有成效的空間和潛力。

　　對(duì)于AI和數(shù)學(xué)之間的關(guān)系能否融通共進(jìn)的討論，在CCAI2019學(xué)術(shù)會(huì)議上，徐宗本院士也曾慷慨激昂地帶來(lái)主題為《AI與數(shù)學(xué)：融通共進(jìn)》的報(bào)告，他提出，AI與數(shù)學(xué)在方法論上具有驚人的一致性。AI的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)，要想行穩(wěn)致遠(yuǎn)，首要考慮的是解決好數(shù)學(xué)問(wèn)題；而AI的發(fā)展必然也會(huì)助力數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究。

　　論文中團(tuán)隊(duì)也有著類(lèi)似的希冀，他們表示，希望這項(xiàng)工作可以作為深化數(shù)學(xué)和AI領(lǐng)域之間合作的一個(gè)模型，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)和ML各自的優(yōu)勢(shì)，以達(dá)到讓人驚嘆的效果。

　　Williamson教授說(shuō)，“對(duì)我來(lái)說(shuō)，這些發(fā)現(xiàn)給出了足夠的提醒，智力并非是單一的變量，就像一個(gè)智商數(shù)字。顯然，智力的最佳定義，應(yīng)該是將其視為一種多軸的多維空間：學(xué)術(shù)智力（academic intelligence）、情感智力（emotional intelligence）、社會(huì)智力（social intelligence）。我希望AI能為我們提供另一個(gè)可以合作的智能軸，這個(gè)新的軸將有力地加深我們對(duì)數(shù)學(xué)世界的理解?！?/span>